植树问题（二）：一端栽与两端不栽
研究一端栽一端不栽、两端都不栽两种情况，掌握"棵数 = 间隔数"和"棵数 = 间隔数 − 1"的规律
上一课我们知道了两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1。但生活中不总是两端都栽——有的路一头靠着建筑物，有的地方两端都被占用了。这一课补全另外两种情况。
一、一端栽，一端不栽
一条 20 米的小路，一端是商场的大门（不能栽树），另一端是围墙角。每隔 5 米栽一棵树，只有一端栽。要栽几棵？
20 ÷ 5 = 4（个间隔），正好栽 4 棵
一端栽一端不栽：棵数 = 间隔数
想想为什么：和"两端都栽"比，少了一端的树，20米5棵变4棵，正好等于间隔数。这种情况不需要 +1 也不需要 −1，最简单！
二、两端都不栽
一段 30 米的走廊，两端都是柱子（不能放东西），每隔 5 米摆一盆花。一共要摆多少盆？
画图数一数：花盆摆在离柱子 5 米、10 米、15 米、20 米、25 米的位置，共 5 盆；柱子到柱子之间被分成了 6 个间隔（两端的柱子各占掉一个"树位"）。
间隔数：30 ÷ 5 = 6（个）
盆数：6 − 1 = 5（盆）
两端都不栽：棵数 = 间隔数 − 1
三、三种情况大总结
| 情况 | 图示 | 棵数与间隔数的关系 |
|---|---|---|
| 两端都栽 | 🌳···🌳 | 棵数 = 间隔数 + 1 |
| 一端栽 | 🌳···○ | 棵数 = 间隔数 |
| 两端不栽 | ○···○ | 棵数 = 间隔数 − 1 |
不要背结论，要看两头：
- 两头都占 → 棵数比间隔数多1
- 占一头 → 相等
- 两头都不占 → 比间隔数少1
拿不准就画一条短线段点几个点数一数，10秒钟解决。
四、例题精讲
一座桥长 60 米，从桥头开始在一侧安装路灯（桥尾有一端不装，桥头装）。每隔 12 米装一盏，一共要装多少盏？
间隔数：60 ÷ 12 = 5（个）
路灯数 = 间隔数 = 5（盏）
答：一共要装 5 盏路灯。
两幢楼之间相距 56 米，每隔 8 米栽一棵树，两端都紧靠着楼（不能栽）。一共要栽多少棵树？
间隔数：56 ÷ 8 = 7（个）
棵数：7 − 1 = 6（棵）
答：一共要栽 6 棵树。
一根木头长 12 米，要锯成 3 米长的小段。每锯一次用 3 分钟，全部锯完要多少分钟？
分析：先想锯几段：12 ÷ 3 = 4 段。锯的次数 = 段数 − 1（两端不"锯"）！
段数：12 ÷ 3 = 4（段）
次数：4 − 1 = 3（次）
时间：3 × 3 = 9（分钟）
答：全部锯完要 9 分钟。
对照：木头是"路"，锯口是"间隔"，锯次数是"两端不栽的树"。画个小图：—｜—｜—｜—，4段只有3个锯口。
把一根绳子剪 5 次，能剪成几段？
分析：这次反过来：剪的次数相当于"间隔"，段数相当于"树"。剪 5 次有两端的意义：段数 = 次数 + 1。
5 + 1 = 6（段）
答：能剪成 6 段。
比较：例题3是"已知长度求次数"（次数 = 段数 − 1），例题4是"已知次数求段数"（段数 = 次数 + 1）。一对互逆问题！
五、课堂练习
🧠 基础练习
第1题：一路边有 40 米的围栏，从起点开始每隔 8 米插一面彩旗（终点处不插，起点处插），一共插 面彩旗。
第2题：两幢大楼之间相距 42 米，每隔 7 米种一棵树，两端都不种，一共种 棵树。
第3题：一根 20 米长的木料，锯成 4 米长的小段，需要锯 次。
🧠 判断与选择
第1题：把一根绳子剪成 8 段，需要剪 8 次。
💡 段数 = 次数 + 1，剪成8段只需 8 − 1 = 7 次。
第2题：在两根相距 36 米的柱子之间挂灯笼，每隔 6 米挂一个（两端柱子上不挂），要挂几个灯笼？正确的算式是（ ）。
第3题：时钟 4 点敲 4 下，用了"间隔"3 个。如果敲响算"栽树"，那么这是"两端都栽"的情况，敲 6 下有 5 个间隔。
🧠 应用题：完整解题过程
第1题：马路一边有 25 根电线杆（两端都有），每相邻两根之间相距 50 米。这条路长多少米？
求间隔数：25 − = （个）
求总长： × = （米）
第2题：一根木头锯成 5 段用了 20 分钟，每锯一次的时间相同。锯一次要几分钟？
求锯的次数：5 − = （次）
求每次时间：20 ÷ = （分钟）
第3题：两座楼之间相距 63 米，每隔 9 米栽一棵树（两端靠楼不栽）。一共要栽多少棵？
求间隔数：63 ÷ = （个）
求棵数：7 − = （棵）
🧠 挑战题：综合应用
挑战题：时钟 4 点整敲 4 下，6 秒敲完。10 点整敲 10 下，多少秒敲完？
找间隔数：敲4下有 4 − 1 = 个间隔
求每个间隔时间：6 ÷ = （秒）
敲10下的间隔数：10 − 1 = （个）
求总时间：9 × = （秒）
💡 常见错误是 6 ÷ 4 × 10 = 15 秒。敲 4 下之间只有 3 个间隔，时间只花在间隔上！这是"两端都栽"模型的经典变式。
六、本课小结
- 一端栽：棵数 = 间隔数（不多不少）
- 两端不栽：棵数 = 间隔数 − 1
- 锯木头：次数 = 段数 − 1（两端不锯）
- 剪绳子：段数 = 次数 + 1（互逆关系）
- 敲钟问题：敲 n 下有 n − 1 个间隔（两端都敲）
- 先判断两头：做题第一步，先看"两头栽不栽"，再定公式
- 画图最可靠：短线段加点，数一数，比记结论更保险
- 识别变式：锯木头、剪绳子、敲钟、爬楼，本质都是植树问题
- 分清"树"和"间隔"：先想清楚题目里什么相当于树、什么相当于间隔
- 第21课：植树问题（一） — 两端都栽
- 第23课：植树问题（三） — 下一课，封闭图形与更多变式
本课的关键是判断"两头的情况"再选公式。如果对锯木头、敲钟这类变式有疑问，随时向老师提问！