解方程（二）
学习含有括号的方程、方程的变形技巧，以及解决实际应用问题，提升方程求解能力和数学思维
上节课我们学习了基础方程的解法（加、减、乘、除四类）。本节课我们将深入学习更复杂的方程，包括含有括号的方程、需要合并的方程，以及方程在实际问题中的应用。这些内容会让你的解方程能力更上一层楼！
一、含有括号的方程
什么是含有括号的方程？
含有括号的方程是指方程中包含括号，需要先处理括号才能解出的方程。
对于含有括号的方程，我们有两种主要解法：
- 先去括号，再解方程：运用乘法分配律去掉括号
- 把括号内看作整体：将括号内的内容看作一个整体来处理
方法1：先去括号
分析：方程左边有括号，需要先去掉
方法：运用乘法分配律，2 × x + 2 × 3 = 18
解：
2(x + 3) = 18
2x + 6 = 18 ← 去括号
2x + 6 - 6 = 18 - 6 ← 两边同减6
2x = 12
2x ÷ 2 = 12 ÷ 2 ← 两边同除2
x = 6
检验：左边 = 2 × (6 + 3) = 2 × 9 = 18，右边 = 18 ✓
解：
3(x - 4) = 21
3x - 12 = 21 ← 去括号
3x - 12 + 12 = 21 + 12
3x = 33
3x ÷ 3 = 33 ÷ 3
x = 11
检验：左边 = 3 × (11 - 4) = 3 × 7 = 21，右边 = 21 ✓
方法2：把括号内看作整体
分析：把 (x + 5) 看作一个整体
方法：两边同时除以4
解：
4(x + 5) = 36
4(x + 5) ÷ 4 = 36 ÷ 4 ← 两边同除4
x + 5 = 9
x + 5 - 5 = 9 - 5
x = 4
检验：左边 = 4 × (4 + 5) = 4 × 9 = 36，右边 = 36 ✓
- 整体法：当括号外的系数能整除右边时，优先使用整体法
- 去括号法：当括号外的系数不能整除右边时，使用去括号法
- 选择技巧：36 ÷ 4 = 9（整除）→ 用整体法；35 ÷ 4 = 8.75（不整除）→ 用去括号法
二、需要合并的方程
有些方程中，未知数x出现多次，需要先合并同类项才能解出。
运用乘法分配律的逆运算，将含x的项合并：
ax + bx = (a + b)x
分析：左边有两个含x的项，需要合并
方法：3x + 2x = (3 + 2)x = 5x
解：
3x + 2x = 25
(3 + 2)x = 25 ← 合并同类项
5x = 25
5x ÷ 5 = 25 ÷ 5
x = 5
检验：左边 = 3 × 5 + 2 × 5 = 15 + 10 = 25，右边 = 25 ✓
解：
5x - 2x = 36
(5 - 2)x = 36 ← 合并同类项
3x = 36
3x ÷ 3 = 36 ÷ 3
x = 12
检验：左边 = 5 × 12 - 2 × 12 = 60 - 24 = 36，右边 = 36 ✓
解：
7x + x - 3x = 30
(7 + 1 - 3)x = 30 ← 合并同类项（注意：x = 1x）
5x = 30
5x ÷ 5 = 30 ÷ 5
x = 6
检验：左边 = 7 × 6 + 6 - 3 × 6 = 42 + 6 - 18 = 30，右边 = 30 ✓
- 不要忘记系数1：x = 1x，所以 7x + x = 8x，不是 7x
- 注意符号：5x - 2x = 3x（减号要保留）
- 先合并再计算：不要急着算出x的值，先合并同类项
三、两边都有未知数的方程
有些方程的两边都含有未知数x，需要通过移项来解出。
将含x的项移到方程的一边，常数项移到另一边：
移项时要变号：+ 变 -，- 变 +
分析：两边都有x，需要把右边的x移到左边
方法：两边同时减去x
解：
3x = x + 14
3x - x = x + 14 - x ← 两边同减x
2x = 14 ← 合并
2x ÷ 2 = 14 ÷ 2
x = 7
检验：左边 = 3 × 7 = 21，右边 = 7 + 14 = 21 ✓
分析：需要把含x的项移到左边，常数项移到右边
解：
5x - 8 = 3x + 12
5x - 8 - 3x = 3x + 12 - 3x ← 两边同减3x
2x - 8 = 12
2x - 8 + 8 = 12 + 8 ← 两边同加8
2x = 20
2x ÷ 2 = 20 ÷ 2
x = 10
检验：左边 = 5 × 10 - 8 = 50 - 8 = 42，右边 = 3 × 10 + 12 = 30 + 12 = 42 ✓
四、复杂方程解法总结
复杂方程解法流程图
| 方程类型 | 特征 | 解法 |
|---|---|---|
| 含括号 | a(x + b) = c | 去括号或整体法 |
| 可合并 | ax + bx = c | 合并同类项 |
| 两边有x | ax + b = cx + d | 移项后合并 |
核心策略：化繁为简，逐步简化为基本方程！
五、方程的应用——列方程解决实际问题
列方程解决实际问题是学习方程的最终目的。这类问题需要：
- 找未知数：明确题目中要求的是什么
- 设x：把未知数设为x
- 找等量关系：找出题目中的等量关系
- 列方程：根据等量关系列出方程
- 解方程：求出x的值
- 检验：检查答案是否符合题意
类型1：和差倍分问题
分析：
- 设未知数：设梨树有x棵
- 表示另一个量：苹果树有2x棵（因为是梨树的2倍）
- 找等量关系：苹果树 + 梨树 = 总数
- 列方程：2x + x = 120
解：
设梨树有x棵，则苹果树有2x棵
2x + x = 120
(2 + 1)x = 120
3x = 120
3x ÷ 3 = 120 ÷ 3
x = 40
2x = 2 × 40 = 80
答：梨树有40棵，苹果树有80棵
检验：40 + 80 = 120（总数），80 ÷ 40 = 2（2倍）✓
类型2：行程问题
分析：
- 等量关系：路程 = 速度 × 时间，路程不变
- 设未知数：设现在每分钟要走x米
- 列方程：10x = 60 × 12
解：
设现在每分钟要走x米
10x = 60 × 12
10x = 720
10x ÷ 10 = 720 ÷ 10
x = 72
答：每分钟要走72米
类型3：购物问题
分析：
- 设未知数：设梨每千克x元
- 等量关系：苹果的钱 + 梨的钱 = 总钱数
- 列方程：5 × 6 + 3x = 54
解：
设梨每千克x元
5 × 6 + 3x = 54
30 + 3x = 54
30 + 3x - 30 = 54 - 30
3x = 24
3x ÷ 3 = 24 ÷ 3
x = 8
答：梨每千克8元
检验：5 × 6 + 3 × 8 = 30 + 24 = 54 ✓
六、课堂练习
🧠 互动练习1：基础解方程（含括号）
解下列方程，直接在页面上输入答案
第1题： 3(x + 4) = 27，x =
第2题： 2(x - 5) = 18，x =
第3题： 5(x + 2) = 35，x =
第4题： 4(x - 3) = 20，x =
🧠 互动练习2：合并同类项
解下列方程
第1题： 4x + x = 20，x =
第2题： 6x - 2x = 32，x =
第3题： 5x + 3x - 2x = 36，x =
第4题： 8x - x - 2x = 25，x =
🧠 互动练习3：两边都有x的方程
第1题： 4x = x + 15，x =
第2题： 6x = 2x + 20，x =
第3题： 7x - 5 = 3x + 15，x =
🧠 互动练习4：判断题
第1题：解方程 3(x + 2) = 15 时，可以先两边除以3，得到 x + 2 = 5。
第2题：合并同类项时，7x + x = 7x。
第3题：解方程 5x = 2x + 18 时，可以两边同时减去2x。
第4题：列方程解决实际问题时，必须先检验答案是否符合题意。
🧠 互动练习5：应用题（列方程并求解）
列出方程并求解，所有步骤都在页面上完成
第1题：一个数的3倍减去5等于22，这个数是多少？
设这个数为 x
列方程：x - =
解方程：x =
第2题：果园里有桃树和杏树共80棵，其中桃树的棵数是杏树的3倍。桃树和杏树各有多少棵？
设杏树有 x 棵，则桃树有 x 棵
列方程：x + x =
解方程：x = （杏树）
桃树 = 棵
第3题：小明买了一些铅笔，买了4盒，每盒12支，一共用了48元。每盒铅笔多少元？
设每盒铅笔 x 元
列方程：x =
解方程：x =
第4题：爸爸今年36岁，儿子今年9岁。几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？
设 x 年后爸爸的年龄是儿子的3倍
列方程： + x = × ( + x)
去括号后： + x = + x
解方程：x = 年
第5题：一个长方形的周长是24厘米，长是8厘米。宽是多少厘米？
设宽是 x 厘米
列方程： × ( + x) =
去括号后： + x =
解方程：x =
第6题：学校买来篮球和足球共25个，其中篮球的个数比足球的2倍少5个。篮球和足球各有多少个？
设足球有 x 个，则篮球有 x - 个
列方程：x + (x - ) =
去括号后：x + x - =
解方程：x = （足球）
篮球 = 个
✍️ 练习6：挑战题
挑战1：已知 2x + 3 = 17，那么 4x - 5 等于多少？
挑战2：如果 5x - 8 = 3x + 12，那么 x² 等于多少？
挑战3：甲乙两人共有邮票100枚，甲的邮票枚数比乙的3倍少20枚。两人各有多少枚邮票？
挑战4：一个三位数，个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c。如果这个数等于各位数字之和的26倍，且a + b + c = 12，求这个三位数是多少？
挑战5：小明和爸爸的年龄和是45岁，5年后爸爸的年龄是小明的3倍。今年小明和爸爸各多少岁？（提示：设小明今年x岁）
七、本课小结
- 含括号的方程：可去括号（乘法分配律）或用整体法求解
- 合并同类项：ax + bx = (a + b)x，注意x = 1x
- 两边都有x：通过移项，将含x的项移到一边
- 列方程解应用题：设未知数 → 找等量关系 → 列方程 → 解方程 → 检验
- 常见应用题型：和差倍分、行程问题、购物问题、年龄问题、几何问题
- 方法选择：解含括号的方程时，先判断能否整除，选择合适的方法
- 细心计算：合并同类项时，注意系数的正负号
- 找等量关系：应用题的关键是找出等量关系，多练习常见题型
- 检验习惯：解完方程一定要检验，特别是应用题要检查是否符合题意
- 规范书写：设未知数时要写出"设......为x"，解题步骤要完整
- 第14课：解方程（一） — 基础方程解法
- 第13课：等式的性质 — 解方程的理论基础
解方程是代数的核心技能，需要多加练习。如果对某种类型的方程解法有疑问，或者不知道如何列应用题的方程，随时向老师提问！