三角形的面积
用两个完全一样的三角形拼成平行四边形，推导出面积公式 S = ah ÷ 2，学会正确找出"对应的底和高"
上一课我们用割补法把平行四边形变成长方形。这一课的三角形没法直接剪拼成长方形，我们升级方法：拼——用两个完全一样的三角形拼成平行四边形。
一、拼一拼：两个完全一样的三角形
准备两个完全一样（形状相同、大小相同）的直角三角形。你能把它们拼成学过的图形吗？
两个完全一样的直角三角形可以拼成长方形；两个完全一样的锐角或钝角三角形可以拼成平行四边形。
拼成的平行四边形：
- 底 = 三角形的底 a
- 高 = 三角形的高 h
- 面积 = ah，而它是两个三角形拼成的
所以一个三角形的面积是平行四边形的一半：
三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2
S = ah ÷ 2
- 必须是两个完全一样的三角形才能拼成平行四边形。形状一样但大小不同的两个三角形拼不成！
- 公式里的"÷ 2"来自"一个三角形是拼成图形的一半"。不除以2，就算的是平行四边形的面积了。
- 一个三角形只有一条面积公式，但底和高有三组对应关系（任选一组垂直对应的底和高即可）。
二、底和高的对应
一个三角形的底是 8 厘米，高是 5 厘米。它的面积是多少平方厘米？
S = ah ÷ 2 = 8 × 5 ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20（平方厘米）
答：它的面积是 20 平方厘米。
小技巧：先乘再除太麻烦？可以先除！8 ÷ 2 = 4，4 × 5 = 20。哪个数是偶数（或容易折半）就用哪个先除以2。
一个三角形，AB 边长 10 厘米，AB 边上的高是 6 厘米；另一条边上的高是 8 厘米。它的面积是多少？
分析：画草图后可以看出："8 厘米的高"对应的底不是 10 厘米这条边。公式里的 a 和 h 必须互相垂直，所以只能用 10 和 6 这一组。
S = ah ÷ 2 = 10 × 6 ÷ 2 = 30（平方厘米）
答：它的面积是 30 平方厘米。千万不要算成 10 × 8 ÷ 2 = 40，那是错的！
一块三角形交通标志牌的面积是 36 平方分米，高是 9 分米。它的底是多少分米？
分析：由 S = ah ÷ 2 可知，S × 2 = ah（两边同时乘2），所以 a = 2S ÷ h。
a = 2S ÷ h = 36 × 2 ÷ 9 = 72 ÷ 9 = 8（分米）
答：它的底是 8 分米。
检验：8 × 9 ÷ 2 = 36 ✓ 记住口诀：求底或求高，先把面积乘2。
一个平行四边形和一个三角形等底等高。平行四边形面积是 24 平方米，三角形的面积是多少？
分析：等底等高时，三角形面积是平行四边形的一半。
24 ÷ 2 = 12（平方米）
答：三角形的面积是 12 平方米。
三、等底等长的三角形
- 等底等高的三角形，面积一定相等——哪怕一个尖、一个钝，形状完全不同
- 三角形面积只由底和高决定，与"长相"无关
- 等底等高时：平行四边形面积 = 三角形面积的 2 倍
四、课堂练习
🧠 基础练习：直接应用公式
第1题：一个三角形的底 10 米，高 6 米，面积是 平方米。
第2题：一个三角形的底 3 厘米，高 4 厘米，面积是 平方厘米。
第3题：一个三角形的面积是 24 平方分米，底是 8 分米，高是 分米。
🧠 判断题：检验理解
第1题：三角形的面积是平行四边形面积的一半。
💡 必须是"等底等高"的平行四边形才行，没有这个前提不能比较。
第2题：两个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形。
第3题：三角形的底是 4 厘米、高是 3 厘米，面积是 4 × 3 = 12 平方厘米。
🧠 应用题：完整解题过程
第1题：一块三角形麦田，底是 90 米，高是 60 米。这块麦田的面积是多少平方米？
写公式：S = × ÷
代入数值：S = × ÷ 2
计算结果：S = 平方米
第2题：一个三角形的面积是 20 平方米，底是 5 米。它的高是多少米？
想公式：因为 S = ah ÷ 2，所以 h = 2S ÷
代入数值：h = 2 × ÷
计算结果：h = 米
第3题：一张三角形彩纸，底 2.4 分米，高 1.5 分米。它的面积是多少平方分米？
代入数值：S = × ÷ 2
计算结果：S = 平方分米
第4题：一块三角形玻璃，面积 2.7 平方米，底 1.8 米。它的底边上的高是多少米？
先乘2：2.7 × 2 = 平方米
再除以底：h = ÷ = 米
🧠 挑战题：综合应用
挑战题：一个直角三角形的两条直角边分别是 3 厘米和 4 厘米，斜边长 5 厘米。斜边上的高是多少厘米？
第一步：用两条直角边求面积（直角边互为底和高）：S = 3 × 4 ÷ 2 = 平方厘米
第二步：面积不变，斜边上的高：h = 2S ÷ 斜边 = ÷ = 厘米
💡 核心思路：同一个三角形面积是固定的，换一组底和高来算，结果必须一样。用"面积不变"沟通两组底和高，这是本单元的经典题型。
五、本课小结
- 转化方法：两个完全一样的三角形拼成平行四边形（升级版转化）
- 面积公式：S = ah ÷ 2（别忘除以2！）
- 逆用公式：h = 2S ÷ a，a = 2S ÷ h（先乘2再除）
- 对应关系：底和高必须互相垂直
- 等底等高：等底等高的三角形面积相等，是平行四边形面积的一半
- 动手拼：剪两个完全一样的三角形拼一拼，体会"一半"从哪来
- 先折半再乘：计算时选偶数先除以2，减少出错
- 逆向题先乘2：已知面积求底或高，先把面积乘2
- 画图标出垂直符号：确认底和高对应再计算
- 第17课：平行四边形的面积 — 本课推导的基础
- 第19课：梯形的面积 — 下一课，继续用拼摆法
- 第14课：解方程（一） — 逆用公式的思考方式
本课最重要的是理解"÷2"的来源（一个三角形是拼成平行四边形的一半）。如果对底高对应或逆向求底高有疑问，随时向老师提问！